Azel's Note

ある高校生の数学ノート。

ラマヌジャン・ナーゲルの定理を背景に持つ入試問題を見つけた話

今回の記事は中身がありません笑。ある面白い定理を背景にしたと思われる入試問題を見つけたというだけの記事です。 最近、Ramanujan-Nagell's theoremなる定理を知りました。 『方程式の自然数解はのみである。』 という定理です。えらく具体的な定理だなあ…

京大の整数問題を因数分解だけで解く試み

驚異の本日3投稿目。 夏の間体調を壊し、8月の後半は完全に寝込んでいたので数学から遠ざかってしまっていました。 また体調を崩さないうちに一気に記事を書いています笑。 最近出会ったこんな問題があります。 任意の整数に対し、はで割り切れることを示せ…

積分で活躍する、整式の瞬間部分分数分解法(Heaviside cover-up method)

積分ってしんどいですよね。何がって計算が。 中堅以上の大学の入試問題だと、部分分数分解して積分しなければならない場面が割と多いです。 この部分分数分解が曲者で、それなりに面倒。 この記事では、数値代入法を用いて瞬間的に部分分数分解するテクニッ…

複素数平面の図形問題を初等幾何で解決する小ネタ

複素数平面は幾何問題の処理において問答無用の強さを発揮します。 最大最小問題なら、極形式を用いて強引に三角関数の最大最小問題に帰着させることが出来るし、証明問題(特に直交関係の証明)は、各点を複素平面上の位置ベクトルとして扱うことでただの計算…

数学甲子園2017予選通過 & 2015年本選問題を試し解き。

・まさかの予選通過 タイトルの通り、数学甲子園2017予選通過しました。 僕のチームは本選出場チームの中で最も名前が長いチームです。本選に出場できるのならもっとマシな名前にするべきでした。(発案は僕じゃないです。) 予選があったのは今月初頭のこと、…

sinA+sinB+sinC (π>A,B,C>0, A+B+C=2π)の最大値、微分による力技と、相加相乗平均の利用による微分回避

最近全然ネタを投下できていない。別に何もしていないわけではなくて、n個の三角関数の和について与えられる強い不等式を幾つか見つけたりはしているのだけど、夏の論文コンテストに提出する予定なのでここには書けない。 というわけで、昔の下書き記事を掘…

大学入試別解シリーズ 2005年京大前期 文理共通 第1問

2005年京大理系文系共通・前期第1問です。 平面上の原点と点を結ぶ線分(両端を含む)をとする。とが交点を持つような実数の組の集合を平面上に図示せよ。 京大の割にめちゃくちゃ簡単。(そもそも、この別解シリーズの問題はスタンダード数学演習から引用して…

大学入試別解シリーズ 2012東大文系 第2問

簡単な問題。こういう問題ばかり解いてると妙な自信が湧いてきてよくない。先日学校の授業で解かされたのでついでに。 実数tはを満たすとし、座標平面上の4点を考える。また、線分AB上の点Dをとなるように定める。tを動かしたときのの面積の最大値を求めよ。…

大学入試別解シリーズの投稿開始について

僕は今高3だし、大学受験の予定があるのでわりとピンチだ。 数学は好きでも勉強は大嫌いだから、数学の問題でさえ、決まった量を決まったペースで解くのが大の苦手。 というか別に勉強に限った話でもなく、計画に沿って行動すること自体が非常に苦手。立案と…

Beyond all restrictions

広く浅くが良いとか、狭く深くが良いとか、そういう論争はよくある。 ステレオタイプな東大京大の学風として、それぞれ「広く浅く」「狭く深く」というのがあるからなのか、こういった論争は東大京大論争にも結び付けられている節があって、明らかにそれを意…

数学自作問題① 幾何

今朝、夢の中で考え事をしているといったような内容の記事を投稿したが、実はあの時も僕はある問題に起こされた。 最近某所に提出するための論文を執筆していて、そのための題材の候補の一つである、ある一般性の高い図形を研究している。 そのせいで夢に関…

暗雲と雷光

僕は考えるのが非常に遅い。頭が鈍いのだ。世間一般の平均値と比べれば、考えるのも計算するのも速いと思っているが、数学好きの中ならどちらもだいぶ遅い部類だと思う。 だから長考する。集中して問題を解くというより、常にそのことが意識から消えないのだ…

「sinA+sinB+sinC > cosA+cosB+cosC」とその発展型「sinA+sinB > cosA+cosB+cosC」を幾何と代数の視点から考察する。

鋭角三角形においてを示せ、という問題がある。 最も一般的と思われる解法は、最大角をAに指定した上でを示し、和積公式を用いてを示し辺々を加えるというものだ。 僕はあまり和積公式が好きではない。和積公式を使うべきとされる場面では、幾何的な性質が無…

2016年度JMO予選問題 8番

先日、友人からある問題を出題された。以下がそれだ。 初めて見る形式の問題であり、一瞬警戒したものの、少し考えてみると、semi-perimeterが活躍する問であることが容易に分かった。 解き終わってみると、ふと出典が気になった。適当に問題文の条件を検索…

幾何学におけるカルノーの定理の簡潔な証明

かつて、三角関数に関するある難問を解く過程で、単位円を利用して幾何的にアプローチしたところ、副産物として美しい定理を得た…..と思ったが、変形したところ、カルノーの定理と同値だった、ということがあった。 美しい定理を独立に発見したのでなかった…

高校数学におけるチェビシェフ多項式

三角比/三角関数は便利だ。そしてなにより、美しい。 だが、僕の周りを見る限りでは、三角関数が苦手な人間は多い。数学アレルギーの原因の一つでもあるように思う。 ただ、本当に便利だし、興味深い性質を秘めている。三角関数に関連する入試問題も、そのバ…

『1,11,111,...の数列の中に、2017で割り切れる項が存在することを示せ』の2通りの解答と一般化。またそれに付随する考察。

高校の数学の課題で、『1,11,111,…の数列の中に、2017で割り切れる項が存在することを示せ』というものが出題された。 受験数学についても純粋数学についても、僕は数論の経験が殆どなく、最初は全く見当がつかずかなり悩んだが、結論として、レピュニットに…

心機一転

FC2ブログで記事を書いていたが、数式の記述の容易さやその他利便性を考慮してはてなブログに移転した。 これに伴って前のブログは閉鎖した。記事の移動の予定は当面ない。