Azel's Note

とある高校生の数学ノート。あらゆる問題に対する、感覚と論理の双方向からのアプローチの記録。

2016年度JMO予選問題 8番

先日、友人からある問題を出題された。以下がそれだ。

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初めて見る形式の問題であり、一瞬警戒したものの、少し考えてみると、semi-perimeterが活躍する問であることが容易に分かった。

解き終わってみると、ふと出典が気になった。適当に問題文の条件を検索してみると、どうもJMO予選問題だったようだ。 流石はJMOだと思う、変な形式の出題を考えるものだ。

解答に要した時間は8分ほどであった。数学オリンピックの予選問題は1問15分が目安といわれるから、まあ許容範囲内ではあるだろう。

ネットに見られる解法に比べても遜色ないようだから、ここに紹介しておく。

以下が僕の解法だ。


{ \displaystyle D= \omega \cap BC}{ \displaystyle E= \omega \cap CA}{ \displaystyle F= \omega \cap AB} とし、

{ \displaystyle AE=p~,~BF=q~,~CD=r~,~AX=k } とおく。

方冪の定理より、{ \displaystyle p^{2}=4k^{2} } 、従って{ \displaystyle  p=2k }

ここで、内接円の半径は1であるから、{ \displaystyle |\triangle ABC|=\frac{AB+BC+CA}{2}=p+q+r }

条件の比例式より、{ \displaystyle q+r=10k } であるから、{ |\triangle ABC|=12k }

{ \displaystyle A} から { \displaystyle BC} に下ろした垂線の足を { \displaystyle H } とすると、{ \displaystyle |\triangle ABC|=\frac{BC \cdot AH}{2} } より、{ \displaystyle AH=\frac{12}{5} }

ここで、{ \displaystyle DY}{ \displaystyle \omega} の直径となるような点 { \displaystyle Y} を考えると、

{ \displaystyle \triangle ADH \sim \triangle DYX} より、{ \displaystyle k=\frac {\sqrt{10}}{5} } であるから、従って、{ \displaystyle XD=3k=\frac{3\sqrt{10}}{5} }


semi-perimeterの利用がミソである。テクニックの話だから、あまり知性ある解き方ではないかもしれないが、内接円に関係する問ではしばしば活躍する。

(思い付きで記事を書いたので、落とし方が全くわからなくなった。僕には文章力がない…)