Azel's Note

とある高校生の数学ノート。あらゆる問題に対する、感覚と論理の双方向からのアプローチの記録。

ある意味時事ネタ 岡山理科大学の入試数学を15分で完答するチャレンジ

加計学園問題で話題の岡山理科大学。暇だったので、昨今の岡理ブーム(?)に乗っかるべく入試数学をタイムアタックしてみた。

ネットで解答を探したけど無かったので正誤は不明。後日学校の図書館の赤本を借りて答え合わせする予定だが、まず間違いなく満点のハズ。

イムリミットは適当に15分に設定。解いたのが塾の休み時間だったのでちょうどその長さにした。

問題は岡山理科大学のページから拝借。前期SA方式1日目の数学。


第1問 空間ベクトル

3点O(0,0,0),A(2,-3,1),B(-3,1,2)について,次の問いに答えよ。
(1) \vec{OA}\vec{OB}の大きさをそれぞれ求めよ。
(2) 内積\vec{OA}\cdot \vec{OB}を求めよ。
(3) \vec{OA}\vec{OB}のなす角\thetaを求めよ。
(4) OABの面積を求めよ。

物凄いサービス問題。記述の仕方がわからないレベルで簡単。これ本当に入試として機能してるんだろうか…と心配になる。上のリンクにある解答用紙の欄が広いのを見て記述が不安になったけどこれ以上詳細に書きようがない。解答所要時間2分。


(1) \vec{OA}=(2,-3,1),\vec{OB}=(-3,1,2)だから、

|\vec{OA}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}=\sqrt{14}, |\vec{OB}|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{14}

(2) \vec{OA}=(2,-3,1),\vec{OB}=(-3,1,2)だから、\vec{OA}\cdot \vec{OB}=2\cdot(-3)+(-3)\cdot 1+1 \cdot 2=-7

(3) \vec{OA}\cdot\vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos \theta=-7,|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=\sqrt{14}だから、\cos \theta=-\dfrac{1}{2}

0 \leq \theta \leq \piより、\theta=\dfrac{2}{3}\pi

(4) (1),(2),(3)の結果を利用して、\triangle OAB =\dfrac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin \theta=\dfrac{7\sqrt{3}}{2}


第2問 図形と方程式

aは定数とする。3点O(0,0),A(a,a^{2}),B(a-1,(a-1)^{2})について,次の問いに答えよ。
(1) 直線ABy軸との交点の座標をaで表せ。
(2) OABの面積をaの式で表せ。ただし,a \neq 0,1とする。
(3) 0 \lt a \lt 1のとき,OABの面積の最大値と,そのときのaの値を求めよ。

A(a,a^{2}),B(a-1,(a-1)^{2})という設定を見て通過領域かと思って身構えたらそこまで踏み込んでいなかった。ほぼ同じ設定で線分ABの通過領域を図示する問題が名古屋大学かどこかで出題されていたはず。易問。解答所要時間3分。


(1) 直線ABの傾きは、\dfrac{a^{2}-(a-1)^{2}}{a-(a-1)}=a+(a-1)=2a-1。Aを通過するので、AB:y=(2a-1)(x-a)+a^{2}とできる。

x=0を代入して、y切片-a^{2}+aを得る。

(2) \vec{OA},\vec{OB}を考えて、\triangle OAB =\dfrac{1}{2}|a(a-1)^{2}-a^{2}(a-1)|=\dfrac{1}{2}|a(a-1)|

(3) 0 \lt a \lt 1のとき、a(a-1) \lt 0だから、\triangle OAB =\dfrac{1}{2}(-a^{2}+a)

ここで、-a^{2}+a=-(a-\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{1}{4}だから、

-a^{2}+a a= \dfrac{1}{2} (これは0 \lt a \lt 1を満たす)で最大値\dfrac{1}{4}をとり、従ってこのとき\triangle OABの面積も最大値\dfrac{1}{8}をとる。


第3問 対数関数、対数不等式

関数f(x)=\log{_4}(x-1)+\log{\frac{1}{2}}(x+1)について,次の問いに答えよ。
(1) f(3)の値を求めよ。
(2) 関数f(x)において,変数xのとりうる値の範囲を求めよ。
(3) 不等式f(x) \leq -2を解け。

簡単すぎて記述することがないので本当にこんなのでいいのか不安。解答所要時間2分半


(1) f(3)=\log{_4} (3-1)+\log{\frac{1}{2}} (3+1)=\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}

(2) 真数条件より、x-1 > 0かつx+1 > 0、従ってx > 1

(3) 底を4に統一することで、f(x)=\log{_4} \dfrac{x-1}{(x+1)^{2}}とできる。

底について、4 > 1だから、\dfrac{(x-1)}{(x+1)^{2}} \leq \dfrac{1}{16}であればよい。

x > 1のもとでこれを解き、1 \lt x \leq 7-4\sqrt{2}, 7+4\sqrt{2} \leq xを得る。


第4問 オイラーの定理の証明

 \triangle ABCにおいて,内心をI,外心をO,内接円の半径をr,外接円の半径をRとするとき,次の問いに答えよ。
(1)\angle BAC = aとするとき,\angle BICaの式で表せ。
(2) 直線AI\triangle ABCの外接円とのAでない交点をDとするとき,3点B,C,IDを中心とする同一円周上にあることを証明せよ。
(3) 2点I,Oの距離をdとする。AB=ACのとき,等式(R+d)(R-d)=2rRおよび不等式R \geq 2rを証明せよ。
(4) AB \neq ACのとき,不等式R > 2rを証明せよ。

恐らく難問枠。4題の中では比較的難しい。(4)だけ提示されると難関大志望者でも解けない人が居るんじゃないかと思う。本問は誘導が露骨なので簡単。解答所要時間7分。


(1) \angle ABC +\angle BCA=\pi-\alphaである。

ここで、Iは内心であるから、\angle IBC=\dfrac{1}{2}\angle ABC, \angle ICB = \dfrac{1}{2}\angle CBA

したがって、\angle BIC =\pi-\dfrac{1}{2}(\pi-\alpha)=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\alpha}{2}

(2) 円周角の定理より、同一円に於いて同じ大きさの円周角に対する弧長は等しく、対応する弦の長さも等しいから、BD=CD

また、同定理により\angle ACB =\angle ADB=\angle IDBが導かれる。

ここで、\angle ICB=\dfrac{1}{2}\angle ACBから、2\angle ICB=\angle IDBとなり、中心角の定理の逆より、題意は示された。

(3) OI\triangle ABCの外接円(以下Kとする)との交点を考えると、方冪の定理より、(R+d)(R-d)=AI\cdot IDが得られる。

(2)よりBD=IDだから、(R+d)(R-d)=AI \cdot BD

IからABに下ろす垂線の足をHDOと円Kの交点をEとすると、円周角の定理より\angle DAB = \angle DEB,\angle DBE =\dfrac{\pi}{2}である。

二角相等により、\triangle AIH \sim \triangle EDBしたがって、AI:ED=HI:BD \Leftrightarrow AI \cdot BD =ED \cdot HI

EDは円Kの直径、HI\triangle ABCの内接円の半径だから、(R+d)(R-d)=2Rrが示された。

これより、(R+d)(R-d)=2Rr \Leftrightarrow d^{2}=R(R-2r)

d,Rは実数であり、R > 0だから、R-2r \geq 0 \Leftrightarrow R \geq 2rが示された。

(4) R \geq 2rの等号が成立するのはO,Iが一致するときである。

このとき、O=Iから各辺に下ろした垂線の足をX,Y,Zとすると、R=2rから、OA=OB=OC=2IX=2IY=2IZとなり、AB=BC=CA=\sqrt{3}Rとなる。

したがって、等号が成立するとき、\triangle ABCが正三角形であることが必要。

AB \neq ACのとき、これを満たさないので、R > 2rである。


総評

正確には全部合わせて14分47秒前後でした。ギリギリ15分以内にいけた。非常に簡単で特に考えなくても解けるので如何に字を速く書くかの勝負。

第4問で図を書いたのでタイムロス。今思えば書かなくても解けるレベルの問題だった。反省。

入試での時間設定は90分なので、このタイムだと6周解ける。

そして解答を記事にするためにLaTeX形式で打ち込むのに2時間以上かかった。今になって思えば馬鹿なことをしたなあ。