Azel's Note

とある高校生の数学ノート。あらゆる問題に対する、感覚と論理の双方向からのアプローチの記録。

数学甲子園2017予選通過 & 2015年本選問題を試し解き。

・まさかの予選通過

タイトルの通り、数学甲子園2017予選通過しました。

僕のチームは本選出場チームの中で最も名前が長いチームです。本選に出場できるのならもっとマシな名前にするべきでした。(発案は僕じゃないです。)

予選があったのは今月初頭のこと、適当に数学の得意な奴が3人集まり、記念受験のつもりで参加。

予選はチームメンバー全員の得点の平均がチームの得点になるため、下手に5人を集めるよりも精鋭3人を集めた方が予選突破のチャンスはあると踏んでのこの選択だったけれど、本当に予選を通過するならハナから5人チームにしておけばよかったと今更後悔しています。

予選終了後、比を逆にしたり放物線の凸方向を間違えたりという酷いミスを連発し、17点あるかないかという大敗を喫した僕は、他のメンバーが「でも18は堅いな!」とか言っている傍ですまし顔をしつつ、足を引っ張った情けなさで内心泣き出したいくらいの気持ちで家路に就きました。

自己防衛なのか単なる忘れっぽさなのか、そんなことがあったことはすっかり忘れて夏休みを謳歌していたところにチームメンバーからの突然の予選通過の連絡。一同仰天。

僕のこの体たらくで予選通過できたのは、僕以外の2人が優秀だったのと、問題が難化してボーダーが下がったおかげ。チームメイトの皆に感謝。


・本選について

本選出場チームの高校を見て、偏差値の高さにビビりました。偏差値70台後半の高校がちらほらある。多分僕らの高校は下から数えて3番以内でしょう。

チーム名が面白いです。「蒸気は英語でス」チームと「漸漸漸化式」チームが一番うまい名前だと思う。僕らは完全に滑っててつらいので敢えてここで書くことはしません。

さて、今年は過去最多の567チームの参加があり、本選参加者の4分の1は女性らしいです。

偏見かも知れませんが、数学オリンピックのようなアカデミックな催しは、どうしても閉鎖的になりがちです。参加人数が少ないというつもりはありませんが、どうしても僕のような「数学が青春」みたいな奴のイベントになりがちです。平たく言えばナードのイベント。

当然、"数学は嫌いじゃないけどさほど強い興味があるわけではない"くらいの層は参加しづらいでしょう。

それに比して、例えば高校生クイズはもっと参加の心理的ハードルが低いものです。特にクイズに強い興味や思い入れがある者ばかり参加するわけではなく、会場にくる芸能人に会いたいから、程度の理由で参加する人も多く、参加人数が膨大です。それ故に、当然盛り上がりとしては高校生クイズが段違いです。

数学オリンピックのように、既に一定以上の実力がある人間の中で競うのももちろん面白いですが、高校生クイズのように、初心者も歓迎!というイベントもまた面白いです。

数学甲子園の参加者が増え続けているのも、女性参加が増えているのも、このイベントが開かれたもので、排他的なものでないことの一つの裏付けでしょう。

言いたいことがまとまりませんが、"軽い気持ちで"参加できるイベントって、素晴らしいと思います。


・2015年の本選問題を解いてみる

毎度恒例の長い余談は終わりにして、今日の本題。

肩慣らしに、公式HPで公開されている問題を試しに解いてみました。


第1問

僕は大抵「とりあえず解ける」ような解き方を探すので、この問題を見たときも、方冪の定理と余弦定理と相似から\triangle CBTの各辺の長さを調べ\triangle CBTの適当な内角の正弦を計算して正弦定理から半径を求める…みたいな解き方が浮かびました。

でも、問題を多く解くことを求められる試験では、そういう解法が模範解答として設定されていることは恐らく少ないでしょう。

他にマシな解き方がないか、少し立ち止まって考えてみるべきでしょう。

僕は勘が優れているわけではないので、もし今年の本選でこの問題が出ていたら、簡単に解く方法を思いつけずに最初に言った解法で解いたかもしれません。

でもできることなら、下に示すような解法を取りたいですね。


解答

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直線OTと円Oとの交点をD、直線ACとの交点をEとする。OT \perp ATであり、

方冪の定理よりAT=6がわかるから、\angle EAT=\dfrac{\pi}{3}だから、AE=12,ET=6\sqrt{3}

方冪の定理より3\cdot 8=ED \cdot 6\sqrt{3}だから、ED=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\therefore 求める半径は\dfrac{1}{2}(6\sqrt{3}-\dfrac{4\sqrt{3}}{3})=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}


第2問

僕は確率とか組合せの問題が本当に嫌いなので、こういう問題は見るだけでちょっとオエッっとなるんですが、これは特に嫌い。面白さがわからないので。多分この問題が一番不正解者多いんじゃないかな。必要最低限の範疇にある計算の量が最も膨大なので。

Cを用いた数え上げでは根元事象がそれぞれ同様に確からしく起こるようにする必要があり、例外的な部分は面倒くさがらずに場合分けするしかありません。場合分けの基準は好みがあると思いますが、僕は最後の一手で場合分けする派。

ただちょっと僕のやり方はごり押しが過ぎる気もする。より簡単な解き方を思いついた人が居たらコメント欄にでも書き込んでくださると勉強になります。


解答

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速さの比は、7:5なので、最短距離を進んだ時に二人が出会う点として有り得るのは、図の6地点のみである。

また、以下では矢印は進行方向を表すものとする。

てつやがP_1まで最短経路で到達するとき、

下方向から到達する確率は、6C2 \cdot (\dfrac{1}{2})^{7}

左方向から到達する確率は、

↑↑↑↑↑→→の順で進んでくる確率が(\dfrac{1}{2})^{5} \cdot 1 \cdot 1、○○○○○↑→の順で進んでくる確率が5C1 (\dfrac{1}{2})^{6} \cdot 1

\thereforeてつやがP_1を通る確率は、(6C2 + 4 + 5C1 \cdot 2)\cdot (\dfrac{1}{2})^{7}=29 \cdot (\dfrac{1}{2})^{7}

みちこがP_1を通る確率は\dfrac{1}{2^{5}}だから、P_1で出会う確率は、\dfrac{29}{2^{12}}

てつやがP_2を通る確率は7C3 \cdot (\dfrac{1}{2})^{7}、みちこがP_2を通る確率は5C1 \cdot (\dfrac{1}{2})^{5}

\therefore 二人がP_2で出会う確率は7C3 \cdot (\dfrac{1}{2})^{7} \cdot 5C1 \cdot (\dfrac{1}{2})^{5}

以下同様にして、

P_3で出会う確率は、7C3 \cdot (\dfrac{1}{2})^{7} \cdot 5C2 \cdot (\dfrac{1}{2})^{5}P_4で出会う確率は、7C2 \cdot (\dfrac{1}{2})^{7} \cdot 5C2 \cdot (\dfrac{1}{2})^{5}

P_5で出会う確率は、7C1 \cdot (\dfrac{1}{2})^{7} \cdot 5C1 \cdot (\dfrac{1}{2})^{5}P_6で出会う確率は、(\dfrac{1}{2})^{7} \cdot (\dfrac{1}{2})^{5}

\therefore求める確率は(29 + 7C3 + 5C1 + 7C3 \cdot 5C2 + 7C2 \cdot 5C2 + 7C1 \cdot 5C1 +1)\cdot (\dfrac{1}{2})^{12}=\dfrac{25}{128}


第3問

流石にこれはサービスと言う他ない。予選通過する実力があれば確実に解けるはずの1問。

というか、漸化式解くだけの問題って、例年予選で出てるような気がするぞ…


解答

b_n=\dfrac{1}{a_n}とおくと、b_1=1,b_{n+1}=2b_n+3

b_{n+1}+3=2(b_n+3)と変形できるから、n \geq 2において、b_n=2^{n-1}(b_1+3)-3=2^{n+1}-3

b_1=1だから、n=1のときもこの式は成立する。

b_n=\dfrac{1}{a_n}であるから、a_n=\dfrac{1}{2^{n+1}-3}


第4問

これもサービス。なんかこういう問題を解くと本選が凄く簡単なもののように思えてくるなあ。この前まで予選突破さえできないと思ってたのに、自分の単純な性格には呆れる笑。


解答

\log_2 x=tとおくと、1 \leq x \leq 8より、0 \leq t \leq 3

与式はt^{3}-3t^{2}+1とでき、これをf(t)とおくと、f'(t)=3t(t-2)

\therefore 0 \leq t \leq 3において、f(t)は最小値f(2)=-3をとり、最大値f(0)=f(3)=1をとる。

t=0,t=2,t=3のとき、それぞれx=1,x=4,x=8であるから、

yx=1,8で最大値1x=4で最小値-3をとる。


第5問

こういう最短経路長を求める問題ってよく見ますが、大概「糸は各面ではたるんでいないものとする」みたいなむず痒い文言があります。

でもこの問題は糸じゃなくて輪ゴムにすることで、その断り書きの必要性を回避していますね。賢いな笑。

当然この問題も展開して考えるわけですが、どこでも良いわけではありません。まあ解けるのは解けるんですけど、Pを含む辺が端になるように切り開くべきでしょう。


解答

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展開して、Pを通過するような最短経路長を求めると、2\sqrt{(a+c)^{2}+(b+c)^{2}}


第6問

普通の極限。極限の問題で\sin x,\cos xが絡んだらやることは\dfrac{\sin x}{x}を作り出すほかにありません。


解答

\cos(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2})=\sin \dfrac{x}{2}であり、

x=-0近傍では|\sin \dfrac{x}{2}|=- \sin \dfrac{x}{2}だから、与式は\lim_{x \to - 0}=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}}とできる。

\therefore 求める極限値- \dfrac{1}{2}


第7問

見かけ上3変数の関数の最大最小を求めるときには、この問題のようなベクトルを定めて考えることがあります。

その計算過程だけを抽出したような問です。消せるだけ変数を消して平方完成します。


解答

a^{2}=(1+b-2c)^{2}だから、a^{2} + b^{2} + c^{2}=2b^{2}+5c^{2}-4bc+2b-4c+1

整理して、a^{2} +b^{2} +c^{2} = 2(b-\dfrac{2c-1}{2})^{2} +3(c-\dfrac{1}{3})^{2} + \dfrac{1}{6}

\therefore \vec{p}=(\dfrac{1}{6},- \dfrac{1}{6},\dfrac{1}{3})のとき、|\vec{p}|は最小値\dfrac{\sqrt{6}}{6}をとる。


第8問

対数関数の積分なので初手は部分積分になるのが必然的ですが、それによって発生する新しい積分をどう処理するかが解法の分かれ目になるっぽい。

教科書的に解くならx=\sqrt{2}\tan \thetaとおくのが定石。

でも、処理能力よりの試験なので多少の失敗のリスクを取ってでも時間的コストを削減するほうが良いんじゃないかなと思います。

というわけで、以下の解答では置換せずに\arctan xまで引っぱり出して無理やり正面突破していますが、頭の中では、結局はx=\sqrt{2}tと置換するのと変わらない操作をすることになるので置換するのとそんなに差はないですね。


解答

\displaystyle{ \int \log(x^{2}+2)dx = x \log(x^{2}+2) - \int x \cdot \frac{2x}{x^{2}+2} dx=x \log(x^{2}+2) -2 \int \frac{x^{2}}{x^{2}+2}}dx

ここで、\displaystyle{ \int \frac{x^{2}}{x^{2}+2}dx = \int (1- 2 \cdot \frac{1}{x^{2}+2} ) dx=x-\sqrt{2}\arctan \dfrac{1}{\sqrt{2}}x} + Cだから、

\displaystyle{ \int \log(x^{2}+2)dx = x \log(x^{2}+2) -2x+2\sqrt{2}\arctan \dfrac{1}{\sqrt{2}}x}+C

したがって、\displaystyle{ \int_{0}^{\sqrt{2}} \log(x^{2}+2)dx= 2\sqrt{2}(\log 2-1+\frac{\pi}{4})}


第9問

A,Bを焦点とする双曲線になるのは当たり前として、その式がx,yについて対称になることをどう利用するかがポイント。

(焦点がともにy=x上にあるのでそうなるのは当然ですよね。)

単答式試験なので十分性の確認が必要ありませんから、必要性で攻めるのが最も楽でしょう。


解答

求める曲線のグラフは双曲線になるが、グラフの対称性から、この双曲線はxy=k,(k \in R)とおける。

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この曲線のグラフと、y=xのグラフとの共有点のうちx座標が正のものをP_0とすると、

AP_0 + BP_0=2\sqrt{2}aかつAP_0 - BP_0=-2aであるから、AP_0=(\sqrt{2}-1)a

\therefore \overrightarrow{AP_0} =(\dfrac{1}{\sqrt{2}}a-a, \dfrac{1}{\sqrt{2}}a-a)であり、\overrightarrow{OP_0}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP_0}=(\dfrac{1}{\sqrt{2}}a,\dfrac{1}{\sqrt{2}}a)

\therefore k=\dfrac{1}{\sqrt{2}}a \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}a=\dfrac{a^{2}}{2}が必要である。

これは確かに|AP-BP|=2aを満たす。(実際に確認はしなくてよい笑)

\therefore 求める式は、xy=\dfrac{a^{2}}{2}


第10問

これも基本的な問題。数式を処理して解くよりも、複素平面上のベクトルに対応させる方が断然速いと思う。

説明の都合上、ゴテゴテと接弦定理だの円周角の定理だのを持ち出しましたが、数学甲子園は記述試験ではないので、実際に解くときはそんなことを気にせず視覚的に解きましょう。


解答

条件よりz=\dfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}であり、このうち虚部が正のものはz=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}

z+i=z-(-i)だから、複素数z+iに対応するベクトルは、図の赤色のベクトルである。

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求める偏角\thetaは、このベクトルの水平方向からの回転角であるが、\angle IOZ=\dfrac{5}{6}\piであり、接弦定理・中心角の定理より、\angle IOZ=2 \thetaであるから、\theta = \dfrac{5}{12}\pi


第11問

和訳すると、

『ある正四面体の各面の重心を4頂点とする小さな正四面体を考える。この小さな正四面体は、元の正四面体の体積のうち、幾らを占めるか。分数で答えよ。』

となるのかな。あまり自信はないんですがこんなところでしょう。数学の問題としては簡単。


解答

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元の正四面体の一辺の長さをaとする。ある辺の中点を通り、その辺の端でない2頂点を通る断面を考えると、その断面となる三角形と、中点・重心のなす三角形の相似比は3:1であるから、小さな四面体の一辺の長さは\dfrac{1}{3}a

従って、求める体積比は(\dfrac{1}{3})^{3}=\dfrac{1}{27}である。


第12問

和訳すると、

『男性5人、女性7人から選ばれた4人からなる委員会がある。このうち、男性を少なくとも1人、女性を少なくとも2人含むようなものは何通り考えられるか。』

性別で場合分けしないと重複してとんでもない数字になるので、ちゃんと場合分け。でもこれって教科書に載ってるレベルの問題ですよね。

なんかこれ含めて今のところ12問、本選出場者の間で差が開く気がしないんですよね。ということは、問題を創作する「Math Create」の点が本選突破に大きなウエイトを占めるのだろうか。

ああいう不確定要素の強いものがカギになるのは、ちょっとやめてほしいですね笑。

幾ら記念受験で参加したチームとはいえ、ここまで来たらやっぱ上を目指したいですから。


解答

残る1人が男性の時、選び方の総数は5 C 2 \cdot 7 C 2=5\cdot 7\cdot 6

残る1人が女性の時、選び方の総数は{}5 C 1 \cdot 7 C 3=5\cdot 7\cdot 5

求める場合の数は、5\cdot 7 \cdot 6 +5\cdot 7 \cdot 5=5\cdot 7\cdot 11=385


第13問

和訳すると、

多項式2x^{3}-3x^{2}+ax+bx+1を因数に持ち、x-2で割った余りが-15であるとき、a,bを求めよ。』

どうやら英語の問題は教科書レベルの問題のようですね。


解答

因数定理・剰余の定理より、題意の多項式P(x)とすると、

P(-1)=0 \Rightarrow -5-a+b=0かつP(2)=15 \Rightarrow 4+2a+b=-15

これらを解いて、(a,b)=(-8,-3)がわかる。

第14問

和訳すると、『y=-x^{2}-2の点Pにおける接線が原点を通るようなPの座標を全て求めよ。』

有名な接点tの人が力説しているように、原点を通るからと言ってy=mxとおくのはいただけません。なぜならこの問題で求めたいのはPの座標なのに対し、y=mxとおいて解くことで求められるのはmの値だからです。もちろんその後にPの座標を計算できますが、二度手間ですからね。


解答

P(X,Y)における接線の方程式はY=-2Xx+X^{2}-2であり、これが原点を通るときX=\pm \sqrt{2}

したがって求める座標は、(\sqrt{2},-4)(-\sqrt{2},-4)


第15問

和訳すると、N自然数とするとき、N^{2}-2015が平方数となるNを全て求めよ。

整数問題は必要性で候補を絞って十分性の確認をするのが基本的な流れであり、必要条件を与えるためには合同算術、不等式条件、因数分解が使い勝手の良い方法です。

あとは問題を複雑にしない範囲で条件を文字でおいて代入すればとりあえず解けることが多いです。僕は整数嫌いだし苦手なので言えることはこのくらい。


解答

N^{2}-2015=m^{2} \Leftrightarrow (N+m)(N-m)=5 \cdot 13 \cdot 31

\therefore (N+m,N-m)=(2015,1),(403,5),(155,13),(65,31)

これらを解いて、N=1008,104,84,48

別解

N^{2}>N^{2}-2015だから、N^{2}-2015が平方数となるとき、N^{2}-2015=(N-1)^{2},(N-2)^{2},\cdotsが必要

さらに、N,kの偶奇が一致するとき、N-kは偶数だからN^{2}-2015は偶数でなければならず、Nは奇数、kも奇数。

N,kの偶奇が一致しないとき、N-kは奇数だから、N^{2}-2015は奇数でなければならず、Nは偶数、kは奇数。

どちらにせよkは奇数であるから、以下ではN^{2}-2015=(N-1)^{2},(N-3)^{2},(N-5)^{2}\cdotsを考える。

また、N^{2}-2015 \geq 1だから、N^{2}-1936=(N+44)(N-44)>1\therefore N>45が必要であり、

これらをともに満たすNは、N=48,84,204,1008であり、求めるNはこれですべて。


総評

どうも英語で書かれた問題は他の問題に比べて易しいみたいですね。

予選通過発表の時、本選では英語表記の問題が出ると聞いたのでめちゃくちゃ警戒しましたが、CやLaTeXを触ったことがあれば一通りは分かるレベルの単語でした。

(例えば「integer」に対応するものはC言語の「int」命令がありますし、「fraction」にはLaTeX「\frac{}{}」が対応します。)

日本語の問題も難しくはないです。取捨選択はせずに全問正答を目指したいレベル。

とか言って、予選問題も全問正解するつもりで受験したのに酷いミス連発して仲間の足を引っ張った僕のことなので、本選でもなんかやらかすんだろうなあ笑。