Azel's Note

ある高校生の数学ノート。

積分で活躍する、整式の瞬間部分分数分解法(Heaviside cover-up method)

積分ってしんどいですよね。何がって計算が。

中堅以上の大学の入試問題だと、部分分数分解して積分しなければならない場面が割と多いです。

この部分分数分解が曲者で、それなりに面倒。

この記事では、数値代入法を用いて瞬間的に部分分数分解するテクニックを紹介します。

(詳しい話はこの記事の最後に書きますが、どうやらこの方法は「Heaviside cover-up method」と呼ばれるものらしいです。)


・分母が重根を持たない場合(普通の部分分数分解)

具体的な例

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何故この方法で部分分数分解できるのか

最初に述べたように、部分分数分解は扱いやすい恒等式を作る作業です。したがって、各項の分子を求める作業は、恒等式の係数決定と同様の方法を応用できるわけです。

一般的な方法では、\dfrac{2}{x(x+1)(x+2)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{x+2}などとおいた上で整理し、

2=a(x+1)(x+2)+bx(x+2)+cx(x+1) \Leftrightarrow (a+b+c)x^{2}+(3a+2b+c)x+2a-2=0

xについて恒等的に成立するための必要十分条件である

(a+b+c)=0,(3a+2b+c)=0,2a-2=0」を連立方程式として解いています。

しかし、降べきの順に整理する前の式である2=a(x+1)(x+2)+bx(x+2)+cx(x+1)に注目してx=0,-1,-2を代入すれば、必要条件2=2a,2=-b,2=2cを求められます。

これを利用したのが上の方法です。

もちろん、厳密には十分性の確認が必要ではありますが、省略しても実使用上に問題はないでしょう。

実際、有理関数の部分分数分解の可能性と一意性は(教科書に記載はないが)広く知られた事実です。素因数分解の一意性もそう。

もしそれを示さなければならないなら話は別ですが、実際に部分分数分解が必要な場面は大抵計算過程ですから、見据える問題の本質がその計算過程に宿るのでない限りは、プラグマティックに考えることも重要だと僕は思います。

少なくとも、素因数分解の一意性が教科書に記載されていないからと言って、解答でいちいち証明する人は多くないでしょう。実際この証明はけっこう難しいです。

(この方法を用いたとされるヘヴィサイドも、

「Why should I refuse a good dinner simply because I don't understand the digestive processes involved?」

という言葉を遺しています。和訳するなら、「消化のプロセスを知らないなら、食事の誘いを断れとでも?」というニュアンスになるのかな。

演算子法の理論が数学的厳密性を欠くことについて指摘されたときにこう反論したそうです。)


・分母が重根を持つ場合

工事中。


・余談

この方法ってあまり見ない(問題集の解答では大抵係数比較している)けれど、実は一般的なものなんだろうか、それとも塾や予備校では何か別のテクニックを教えているのか?なんて思ったのでちょっと調べてみたんですが、

d.hatena.ne.jp

なんかこれ、演算子法とか同軸ケーブルの発明で有名なヘヴィサイドが用いていた方法と同じみたいですね......

恒等式の係数決定なんだから数値代入法でいいじゃん」程度の軽い思い付きから生まれた方法が、ちゃんと名前のある計算技術だったことにはちょっと感動しました。