Azel's Note

ある高校生の数学ノート。

ラマヌジャン・ナーゲルの定理を背景に持つ入試問題を見つけた話

今回の記事は中身がありません笑。ある面白い定理を背景にしたと思われる入試問題を見つけたというだけの記事です。

最近、Ramanujan-Nagell's theoremなる定理を知りました。

『方程式2^{n}-7=x^{2}自然数(n,x)(3,1),(4,3),(5,5),(7,11),(15,181)のみである。』

という定理です。えらく具体的な定理だなあ。定理って言うと大抵、「a^{n}+b=x^{a}自然数解の個数は(何らかの関数)個である」ってくらい抽象的なモノだと思うんですけど。

名前から分かるように、かの奇才ラマヌジャンの星の数より多い業績の一つらしい。ナーゲルは三角形のナーゲル点のナーゲルと同じ人かな?

ラマヌジャンと言えば、証明もなしに定理を生み出す暴れ馬のような数学者です。

どこかでこの不定方程式を見たことがある気がしたので、心当たりを調べたところ

(1) 6以上の整数nに対して2^{n}-7 > n^{2}が成り立つことを示せ。
(2) p^{q}=q^{p}+7を満たす素数p,qの組(p,q)を全て求めよ。

去年の東北大の入試でした、以上。これ以上書くことがない笑。

ここで終わるのも出オチが過ぎるので一応解いておくことにします。

(1)は最も愚直な解法を選ぶなら、f(x)=2^{x}-x^{2}-7とおいて、

 f'(x) = \log_e 2 \cdot 2 ^{x} -2x , f''(x) = (\log_e 2)^{2} \cdot 2^{x} -2だから、

 f'(x)x \geq 6で単調増加であり、f'(6)>0よりf(x)x \geq 6で単調増加。

 f(6)>0より、x \geq 6f(x)>0 よって題意が示された...とすればよいはずです。

nを離散量として考えてよいにもかかわらず、わざわざ連続量のxをおいて微分するのは流石にオーバーキルなので、模範解答的には数学的帰納法を用いるのが正解なのかもしれません。連続量における微分は、離散量では、比をとって1と比較したり、階差をとって0と比較することに相当するので、そちらを採るのもありでしょう。

(2)は少し形が崩れているものの、まあ恐らくはラマヌジャン・ナーゲルの定理を背景に問題を作ったのでしょう。

もし入試数学がルールなしの殴り合いだったら、「ラマヌジャン・ナーゲルの定理より(p,q)=(2,5)である」って言えば済みますが、これだとちょっと身も蓋もないのでちゃんと解きます笑。

p,qの偶奇が一致する場合、両辺の偶奇が一致しないので、p,qの一方は2です。

(1)の結果を利用するためにp=2を示したいと思うのが自然で、これはq \neq 2を示すことに同等です。

q=2とするとp^{2}=2^{p}+7となるのですが、結局これを示すのにも(1)が使えます。

(1)より、p \leq 5なのでp=2,3,5を試せばよく、実際全て不適です。

したがってp=2とでき、2^{q}=q^{2}+7となる素数qを探せばよく、

(1)より、q \leq 5なのでq=2,3,5を試せばよく、適当なものはq=5のみ。

故に答えは(p,q)=(2,5)です。当然これはラマヌジャン・ナーゲルの定理に合致します。