Azel's Note

ある高校生の数学ノート。

整数の良問 APU(立命館アジア太平洋大学)2017

ふとしたことから中々の良問を発見したので紹介しておきます。 出典は近隣の普通科高校の課題。出典の出典(原典)は今年の立命館アジア太平洋大学の入試問題。

自然数nの正の約数のうち、2番目に大きいものを\ll n \ggと表す。ただし、2 \leq n \leq 100とする。
(1) \displaystyle{ \sum_{k=2}^8 \ll k \gg}を求めよ。
(2) \displaystyle{ \sum_{k=2}^{20} \ll 3k \gg}を求めよ。
(3) \displaystyle{ \ll n \gg=7}を満たすnを全て求めよ。
(4) \ll n^2 \gg =nならば\ll n \gg=1であることを証明せよ。

二番目に大きい約数を表示する記号を定義する、奇異な設定の問題です。こんな記号、かなり良く勉強した人でない限りは初見でしょうから、適応力と理解力が試される良問だと思います。もちろん僕もこんな問題は初めて見ました。ガウス記号がいい加減使い古されてきているので、"思考力を問う"新傾向入試の風にも押され、今後の入試では類題が流行るかもしれません。

(余談 : この問題を課題として出題した高校、実はあまり偏差値が高くありません。その割に(いや、だからこそ?)、「一週間でノート一冊分の問題を解くこと」等の膨大な課題が出題されるので、課題に追われてグロッキー状態の生徒をよく見かけます。この課題も、学生のレベルに比して著しく難易度が高いように思います。少し詰め込み教育寄りと言うか、先生の意欲が空回りしている印象を受けます。)


・解答

自分で解くまで見たくない方もいると思うので折り畳んであります。僕の解答ですから、誤りを発見された場合はぜひお知らせください。